В 1975 Левон Акопян окончил Ереванский государственный университет как микробиолог, в 1981 – Ереванскую государственную консерваторию им. Комитаса по специальности «музыковедение».

В 1981-1992 работал в Институте искусств АН АрмССР, занимаясь проблемами средневекового армянского церковного пения, в 1986 защитил кандидатскую диссертацию на тему «Мелодические структуры средневековых армянских духовных песнопений и их отражение в хазовом (невменном) письме» в московском Государственном институте искусствознания. С 1993 живет в Москве. В 1996 защитил в ГИИ докторскую диссертацию «Анализ глубинной структуры музыкального текста».

В 1995-2009 – ведущий научный сотрудник ГИИ. С 2007 по 2013 – редактор русской версии журнала Gramophone. С 2010 по настоящее время – заведующий сектором теории музыки (до 2013 – отдел современных проблем музыкального искусства) ГИИ. С 2011 по настоящее время – редактор интернет-журнала ГИИ «Искусство музыки. Теория и история», член научной редакции Нового собрания сочинений Д. Д. Шостаковича (Москва, издательство DSCH).

Левону Акопяну принадлежит монография «Шостакович. Опыт феноменологии творчества» (СПб., 2004). Кроме того, он выпустил популярную книгу «Моцарт. Путеводитель» (М., 2006) и предназначенный зарубежной аудитории обзор «Музыка советской эпохи.» (англ. “Music of the Soviet Age, 1917-1987”, Стокгольм, 1998; “Music of the Soviet Era, 1917-1991”, Лондон и Нью-Йорк, 2017). В 2018 вышла книга Л. Акопяна «Феномен Дмитрия Шостаковича» (СПб.: Издательство РХГА), в 2019 – «Великие аутсайдеры музыки XX века: Эдгар Варез, Роберто Герхард, Джачинто Шельси, Жан Барраке» (М.: Государственный институт искусствознания).

В 2022 петербургское Издательство им. Н. И. Новикова (издательство года в рейтинге «МО» «События и персоны») выпустило в свет книгу Левона Акопяна «Мои музыкальные миры», в которую вошли статьи и материалы, отражающие энциклопедически широкий круг интересов автора: от вопросов методологии и философии музыкальной науки и исследования армянской музыки (анализ средневековых армянских духовных песнопений, творчество Арама Хачатуряна, музыка 1970-х – 1980-х годов) до классиков ХХ века (Стравинского, Шмидта, Ксенакиса, Такемицу). Особая часть книги связана с Дмитрием Шостаковичем и темой «Вокруг Шостаковича»: в центре внимания исследователя – ранние опусы великого композитора (1920-х годов), русская и советская музыка «до и после Шостаковича» (в том числе скрупулезное перечисление исполнений музыки советских композиторов за рубежом в 1961-1986). Отдельная глава посвящена Мечиславу Вайнбергу.

Заметными трудами Левона Акопяна стали также его работы над сокращенным русским изданием «Музыкального словаря Гроува» (2001, 2-е изд. 2007) и авторской энциклопедией «Музыка XX века. Энциклопедический словарь».

Левон Акопян владеет армянским, русским, польским, английским, французским, итальянским, немецким, новогреческим языками. Среди выполненных Акопяном переводов – сборник «Карл Густав Юнг о современных мифах» (М., 1996), «Общая психопатология» Карла Ясперса (М., 1997), «Шопен. Человек, творчество, резонанс» М. Томашевского (М., 2011) и др.

В 2020 участвовал в программе «Наблюдатель. Шостакович. Наследие» на телеканале «Россия. Культура». В программе также приняли участие Андрей Устинов, главный редактор газеты «Музыкальное обозрение»; Ирина Шостакович, вдова Д. Д. Шостаковича; Ольга Дигонская, главный архивист Архива Д. Д. Шостаковича.