Александр Викторович Бобровский родился 7 июня 1942 в Воронеже в семье известного музыковеда Виктора Петровича Бобровского (1906-1979). В 1960 окончил Центральную музыкальную школу при Московской консерватории, в 1965 – Московскую консерваторию, в 1970 – аспирантуру МГК. Ученик Вадима Борисовского и Федора Дружинина.

В 1964-1973 – артист оркестра Большого театра, в 1973-1990 – Госоркестра. В 1990-2005 – концертмейстер группы альтов Российского национального оркестра.

Основатель Струнного трио Московской консерватории (Петр Бобровский, скрипка; Александр Бобровский, альт; Олег Бугаев, виолончель).

Выступал с камерными, сольными программами. Первый исполнитель Струнного трио Эдисона Денисова (вместе со скрипачом Олегом Крысой и виолончелистом Иваном Монигетти) и Концерта для альта и фортепиано Григория Фрида (совместно с Тиграном Алихановым).

Проводил мастер-классы в Испании и Эстонии.

В 1970-1976 преподавал в ЦМШ. В 1976-2021 – в Московской консерватории (с 2000 – профессор кафедры альта и арфы, с 2006 – кафедры альта). Также преподавал в Академическом музыкальном училище при Московской консерватории.

Среди учеников Александра Бобровского в МГК – Ксения Жулёва.