Воспитанник всемирно известной Ленинградской / Петербургской дирижерской школы, он оставил яркий след в истории отечественного оркестрового искусства.

А.В. Алексеев родился 10 марта 1938 в Хвойнинском районе Ленинградской области (ныне в составе Новгородской обл.). Окончил дирижерско-хоровое отделение музыкального училища при Ленинградской консерватории. В 1957–1966 учился в ЛГК, окончил два факультета: хорового дирижирования (класс проф. К.А. Ольхова) и оперно-симфонического дирижирования (класс проф. Э.П. Грикурова).

В 1963–1966 Алексеев — дирижер-ассистент Малого театра оперы и балета (ныне Михайловский театр), где в 1966 дирижировал дипломным спектаклем «Катериной Измайловой» Шостаковича (композитор участвовал в репетициях). В те же годы преподавал на кафедре хорового дирижирования Ленинградского института культуры.

В 1971–1972 вместе с Марисом Янсонсом и Дмитрием Китаенко совершенствовался в Венской академии музыки и исполнительского искусства у Ганса Сваровского.

Вскоре после окончания консерватории А. Алексеев со своим коллегой Эдуардом Серовым приехал работать в Ульяновске. Два молодых ленинградских дирижера стояли у истоков Ульяновского симфонического оркестра: Серов возглавил созданный в 1968 коллектив, Алексеев же занял должность второго дирижера только что созданного коллектива (также преподавал в музыкальном училище), а после ухода Серова, в 1978–1983, был художественным руководителем и главным дирижером Ульяновского оркестра. Ветераны коллектива с благодарностью вспоминают годы работы с Александром Васильевичем, отзываются о нем с теплом, любовью и уважением, ценя его профессионализм, компетентность, человеческую отзывчивость и интеллигентность.

После отъезда из Ульяновска Алексеев некоторое время был дирижером Большого театра, а с 1984 по 1992 работал в Харькове: возглавлял симфонический оркестр, преподавал в Институте искусств им. Котляревского.

С 1992 — профессор кафедры оперно-симфонического дирижирования Санкт-Петербургской консерватории, зав. кафедрой, в 2000–2008 — декан дирижерского факультета.

За годы своей карьеры А.В. Алексеев дирижировал спектаклями Челябинского театра оперы и балета, многими оркестрами СССР и России, в т.ч. БСО Всесоюзного радио и телевидения (ныне БСО им. П.И. Чайковского).

С оркестрами под его управлением выступали и записывались Д. Алексеев, Д. Башкиров, Ю. Башмет, Д. Герингас, Н. Гутман, О. Каган, Г. Кремер, М. Плетнев, В. Репин, Г. Соколов и другие именитые солисты.

А.В. Алексеев был удостоен звания «заслуженный артист РСФСР».

Отпевание А.В. Алексеева и прощание с музыкантом состоялось 14 октября в Церкви Святого Иова на Волковском православном кладбище. На этом же кладбище он был похоронен.