Алексей Алексеевич родился в Вологде, в 1977 окончил Московскую консерваторию по классу скрипки (класс проф. М.С. Глезаровой). В 1976–1998 – артист Большого симфонического оркестра Всесоюзного радио и телевидения под управлением Владимира Федосеева, был концертмейстером группы вторых скрипок. В 1998–2001 – директор БСО.

В сезоне 2002–2003 Алексей Шалашов работал заместителем генерального директора Московской филармонии, в 2003–2008 и с 2012 – генеральный директор МГАФ. Алексей Алексеевич руководит Московской филармонией 20 лет. За эти годы филармония достигла колоссальных успехов, став безусловным лидером концертной жизни России.

По инициативе генерального директора в афише филармонии появились многочисленные фестивали и проекты, филармоническую сцену украсили выступления выдающихся музыкантов и коллективов. Филармония начала проводить фестиваль «Виртуозы гитары», абонементные циклы: «Филармонический дебют», «Молодые таланты», «Звезды XXI века», «Великие инструментальные концерты», «Великие оратории», «Шедевры барокко», для молодежи – «Мама, я меломан!», для детей – «Сказки с оркестром», завоевавший огромную популярность и «взятый на вооружение» многими филармониями России.

Главным залом Московской филармонии стал Концертный зал имени П.И. Чайковского. По итогам реставрации, залу были возвращены многие элементы исторического облика, значительно улучшена акустика, расширены сценические возможности (в частности, для исполнения опер semi-stage). В декабре 2007 в здании филармонии на Триумфальной площади открылся Камерный зал на 100 мест, ставший площадкой для экспериментов, дебютов молодых артистов, исполнения современной музыки.

В 2014 Московская филармония получила в свое распоряжение комплекс в Олимпийской деревне — теперь «Филармония-2». После масштабной реконструкции этого здания в нем открылся Концертный зал, получивший имя С.В. Рахманинова, с прекрасной акустикой и инфраструктурой. Сейчас в «Филармонии-2» четыре зала: помимо зала им. Рахманинова – Малый, Игровой и Виртуальный.

Под руководством А.А. Шалашова Московская филармония стала уделять намного больше внимания проектам, связанным с современной музыкой. С 2009 проходит фестиваль «Другое пространство», которым с 2012 руководит Владимир Юровский. В Камерном зале регулярно проходят концерты ансамбля «Студия новой музыки», ГАМ-ансамбля, Московского ансамбля современной музыки, звучат новейшие сочинения современных авторов. В абонементе Андрея Устинова «Персона – композитор», который проходит с 2009, за 13 сезонов участвовали 50 отечественных композиторов разных поколений.

В 2008–2012 Алексей Шалашов работал директором Департамента современного искусства и народного творчества Министерства культуры РФ. Ему принадлежит заслуга в разработке и утверждении «Концепции развития концертной деятельности в области академической музыки в Российской Федерации на период до 2025 года». По итогам 2015 за разработку Концепции Алексей Шалашов стал лауреатом Премии «МО».

В 2006 Алексей Шалашов стоял у истоков создания Союза концертных организаций России. В настоящее время – Президент СКОР.

С 2018 Алексей Шалашов входит в Совет по культуре и искусству при Президенте РФ.

Заслуженный артист РФ (1997), заслуженный деятель искусств РФ (2007).

Награжден орденами Дружбы (2011) и Почета (2017).

Лауреат премии Правительства РФ в области культуры 2014 года (за гастрольный проект «Всероссийские филармонические сезоны»).