Лев Евграфов родился 16 июня 1934 в Уфе в музыкальной семье (его мама Лидия Феоктистовна была известной пианисткой-ансамблисткой, дипломантом международных конкурсов). Начинал обучение на виолончели в школе им. Гнесиных у Давида Любкина. В 1953 окончил ЦМШ при Московской консерватории, в 1958 – Московскую консерваторию, в 1964 – аспирантуру в классе Мстислава Ростроповича. Лауреат Всесоюзного конкурса музыкантов-исполнителей и Международного конкурса им. Пабло Казальса (1963).

С начала 1960-х началась интенсивная концертная деятельность Льва Евграфова: его выступления проходили в городах России, в США, Австрии, Болгарии, Венгрии, Германии, Италии, Испании, Польше, Финляндии, Швейцарии – с неизменным успехом и восторженными отзывами прессы. Он владел практически всем виолончельным репертуаром. Событиями филармонической жизни 60-х-70-х годов стали его циклы концертов «Советская виолончельная музыка» (в рамках которых прозвучало более 60 сочинений 30 авторов, среди них 26 премьер), «Шедевры мирового музыкального искусства» (12 концертов), «6 сюит И. С. Баха» для виолончели соло, «Все виолончельные сонаты и вариации Л. ван Бетховена».

Лев Евграфов сотрудничал с такими корифеями, как пианисты Мария Юдина, Рудольф Керер, Станислав Нейгауз, Алексей Наседкин, скрипачи Борис Гольдштейн, Виетор Пикайзен, Семен Снитковский, дирижеры Геннадий Рождественский, Эдуард Серов, Юрий Темирканов, Юрий Симонов, etc. Исполнял сочинения Дмитрия Шостаковича, Георгия Свиридова, Альберта Лемана, Дмитрия Кабалевского, Мечислава Вайнберга, Бориса Чайковского, Карена Хачатуряна, часто – в ансамбле с авторами.

Более 50 лет Лев Евграфов преподавал в учебных заведениях Москвы: консерватории, РАМ им. Гнесиных, МГИМ им. Шнитке, ЦМШ. В числе его воспитанников – многочисленные мастера виолончельного искусства, лауреаты самых престижных конкурсов: Александр Рудин, Виктория Яглинг, Иван Монигетти, Клаудио Баравиера (Аргентина) и другие.

Л. Евграфов участвовал в работе жюри Международных конкурсов виолончелистов имени П. И. Чайковского в Москве, Гаспара Кассадо во Флоренции, И. С. Баха в Лейпциге, всесоюзных и всероссийских конкурсов. В 1993 и 1994 был организатором и художественным руководителем двух Международных музыкальных фестивалей в Новом Иерусалиме, в которых принимали участие музыканты России, США, Германии, Франции, Израиля, Швейцарии, Японии.

Лев Евграфов был удостоен звания «Заслуженный артист РФ».

Его исполнительское искусство запечатлено на 10 грампластинках, выпущенных фирмой «Мелодия». В 1979 комплект из двух пластинок с записью сонат Луиджи Боккерини отмечен как лучшая грампластинка года в СССР. Записи музыканта в дуэте с Л. Ф. Евграфовой хранятся в фондах радио и телевидения.