Александр Сибирцев родился 2 августа 1935 в Симферополе. В 1950–1955 годах работал токарем, мастером-наладчиком станков на предприятиях Симферополя. В 1955–1958 учился в музыкальном училище имени П.И. Чайковского. В 1958–1963 — на вокальном факультете Московской консерватории (класс профессора Г.И. Тица), в 1963–1967 в аспирантуре МГК.

В 1963–1964 был солистом (баритон) Горьковского театра оперы и балета им. А.С. Пушкина, спел более 20 партий. Затем самостоятельно перевел голос в теноровый диапазон и всю дальнейшую карьеру выступал как тенор.

В 1964–1968 Александр Сибирцев — солист Краснознаменного им. А. В. Александрова ансамбля песни и пляски Советской Армии, в составе которого гастролировал в Англии, Болгарии, Венгрии, Канаде, Монголии, Чехословакии.

В 1968–1973 преподавал в ГИТИСе им. А.В. Луначарского, руководил вокальным коллективом Народного театра оперы и балета Дворца культуры ЗИЛа.

С 1973 по 1993 работал в Пермском театре оперы и балета. С 1993 — солист Самарской оперы, одновременно в 1993–2001 был директором Самарского театра оперы и балета. В годы его руководства в самарском театре состоялась мировая премьера оперы Сергея Слонимского «Видения Иоанна Грозного», художественным руководителем и дирижером которой был Мстислав Ростропович.

В репертуаре Александра Сибирцева было более 30 баритоновых и теноровых партий в операх «Свадьба Фигаро», «Севильский цирюльник», «Лючия ди Ламмермур», «Аида», «Бал-маскарад», «Отелло», «Риголетто», «Травиата»,  «Трубадур», «Богема», «Мадам Баттерфлай», «Тоска», «Паяцы», «Кармен», «Фауст», «Иван Сусанин» / «Жизнь за царя»,  «Борис Годунов», «Хованщина», «Евгений Онегин», «Иоланта», «Опричник», «Орлеанская дева», «Пиковая дама», «Чародейка», «Война и мир», «Семья Тараса» Кабалевского, «Гамлет» Слонимского, опереттах «Цыганский барон» И. Штрауса, «Боккаччо» Зуппе, «Севастопольский вальс» Листова, «Дуэнья» Хренникова.

Своими ключевыми работами он называл заглавную партию в опере «Отелло», партии Манрико в «Трубадуре», Каварадосси в «Тоске» и Германа в «Пиковой даме».

Александр Сибирцев преподавал Пермском государственном педагогическом институте, Самарском государственном институте культуры, Самарском государственном педагогическом университете. В числе его учеников — известные солисты оперных театров России: Дмитрий Бобров, Анастасия Вечеркина, Отар Кунчулиа, Татьяна Ларина, Анастасия Лепешинская, Александр Миненко.

Был членом жюри Международных конкурсов вокалистов имени М.И. Глинки в Москве и им. Монюшко в Варшаве, фестиваля и премии «Золотая маска».

Александр Сибирцев был удостоен званий заслуженного (1978) и народного артиста РСФСР (1983), Государственной премии РСФСР имени М.И. Глинки за роль Пьера Безухова в постановке оперы Прокофьева «Война и мир» в Пермском театре оперы и балета (1984).

Награжден медалью «Ветеран труда», медалью ордена «За заслуги перед Отечеством» II степени, медалью Святого благоверного князя Даниила Московского.

Сын Александра Сибирцева Дмитрий Сибирцев — певец (тенор), пианист-концертмейстер, театральный деятель, в 2012–2020 директор театра «Новая опера», с 2020 директор Московского камерного хора.