Феликс Коробов родился в 1972 в Иркутске. Окончил ССМШ при Уральской консерватории (класс проф. Сергея Пешкова), Московскую консерваторию по специальностям виолончель (класс проф. Марии Чайковской) и оперно-симфоническое дирижирование (класс проф. Василия Синайского). В 1998 окончил аспирантуру МГК по специальности струнный квартет (класс проф. Андрея Шишлова). Среди его учителей — выдающиеся профессора Московской консерватории Т.А. Гайдамович, А.З. Бондурянский, Р.Р. Давидян, К.С. Хачатурян.

Работал концертмейстером группы виолончелей Екатеринбургского Малого оперного театра (1990–1993) и Государственной академической симфонической капеллы России под управлением Валерия Полянского (1996–2000).

В 1999 году начал карьеру дирижера в Московском музыкальном театре имени К.С. Станиславского и В.И. Немировича-Данченко, где в 2002 его дипломной работой стала постановка оперы Джузеппе Верди «Эрнани».

В 2000–2002 — ассистент главного дирижера Госоркестра России, с которым подготовил ряд программ с участием Пласидо Доминго, Монсеррат Кабалье, Мстислава Ростроповича, осуществил записи на CD и дирижировал концертами в Большом зале Московской консерватории, Концертном зале имени П.И. Чайковского.

В 2003 году был приглашен в театр «Новая опера», в 2004–2006 — главный дирижёр театра. Был музыкальным руководителем и дирижером опер «Царская невеста» Римского-Корсакова и «Норма» Беллини, спектакля «О Моцарт! Моцарт…», концертных программ «Романсы П.И. Чайковского и С.В. Рахманинова», «Opera@Jazz».

С сентября 2004 — главный дирижер МАМТа имени К.С. Станиславского и В. И. Немировича-Данченко.

Как дирижер-постановщик выпустил в МАМТе оперы «Аида», «Травиата» и «Сила судьбы» Верди, «Итальянка в Алжире» Россини, «Медея» Керубини, «Вертер» и «Манон» Массне, «Евгений Онегин» Чайковского, «Майская ночь, или Утопленница» Римского- Корсакова, «Царь Эдип» Стравинского, «Война и мир» Прокофьева, «Кафе «Сократ»» («Бедный Матрос» Мийо, «Сократ» Сати),«Замок Герцога Синяя Борода» Бартока, российские премьеры опер «Гамлет (датский) (российская) комедия» Владимира Кобекина, спектакля «Песни у колодца. Слепые» Леры Ауэрбах и Елены Лангер); балеты «Каменный цветок» и «Золушка» Прокофьева, «Неаполь» на музыку Гаде, Хельстеда, Паулли, Лумбю; «Чайка», «Русалочка», «Татьяна» (хореограф Джон Ноймайер) «Маленькая смерть. Шесть танцев» (Иржи Килиан), «Манон» (Кеннет МакМиллан) и др.

С приходом Коробова оркестр МАМТа начал выступать с симфоническими концертами.

С 2007 Феликс Коробов преподает на кафедре оперно-симфонического дирижирования Московской консерватории. С того же года — художественный руководитель и главный дирижер Камерного оркестра Московской консерватории.

В миланском театре La Scala осуществил постановки балетов «Онегин», «Манон», «Спящая красавица», «Баланчин/Килиан/Бежар».

Гастролирует как дирижер и виолончелист. Сотрудничал с оркестрами России, Германии, Финляндии, Италии, Китае, Эстонии, Латвии, Испании, Грузии, США и других стран.

Феликс Коробов — народный артист Российской Федерации, заслуженный артист Республики Абхазия, Лауреат Премии Москвы в области литературы и искусства (2016) и Национальной театральной премии «Золотая маска» (2012).