Александр Корчагин родился 11 июня 1945 в Москве. В 1968 с отличием окончил Московскую консерваторию по классу виолончели (преп. Г. С. Козолупова), в 1970 – ассистентуру-стажировку МГК (руководитель – проф. Р. Р. Давидян). Дипломант Всесоюзного конкурса виолончелистов (Рига, 1972).

В годы учебы Корчагин вместе с однокурсником, скрипачом Александром Шишловым организовал струнный квартет, который позднее получил мировую известность как Государственный квартет имени Д. Д. Шостаковича. Квартет существовал с 1966 до 2014. Все эти годы Александр Корчагин оставался его бессменным участником.

В составе Квартета имени Д. Д. Шостаковича Корчагин стал лауреатом XIX международного конкурса ARD в Мюнхене (1970, III премия) и XIII Международного конкурса им. Л. Вейнера в Будапеште (1973, I премия). Коллектив гастролировал в городах СССР, России и 46 странах мира (Европа, США, Канада, Латинская Америка, Австралия, Новая Зеландия, Япония, Индия и др.); участвовал в крупнейших международных фестивалях (в Эдинбурге, Санта-Фе, Аделаиде, Кухмо, Дуйсбурге, Хельсинки, Стамбуле, Токио, Гонконге, Праге, Вильнюсе, Москве и др.).

Квартетом имени Шостаковича записано более 50 грампластинок и компакт-дисков, выпущенных в России, Великобритании, Германии, Италии, США, Японии. С квартетом выступали: пианисты Татьяна Николаева, Алексей Наседкин, Николай Петров, Владимир Крайнев, Михаил Воскресенский, Александр Бондурянский, Тигран Алиханов, Николай Луганский, Василий Лобанов; скрипачи Лиана Исакадзе, Виктор Третьяков, Игорь Ойстрах и многие другие выдающиеся исполнители.

Как солист, Александр Корчагин выступал в дуэте с пианисткой Татьяной Железниковой. Ими записаны два CD, сделаны записи для фирмы «Мелодия» и Всесоюзного радио.

Более полувека Александр Корчагин преподавал. С 1967 по 1988 вел классы виолончели и струнного квартета в Академическом музыкальном училище при Московской консерватории, в 1970-1973 – класс виолончели в ЦМШ, в 1988-1989 – класс квартета в ГМПИ имени Гнесиных, с 1989 по 2022 – класс струнного квартета в Московской консерватории (с 1993 доцент, с 1996 профессор).

Проводил мастер-классы в Германии, Италии, Австралии, Финляндии; открытые уроки в США, Канаде, Японии, Нидерландах, Южной Корее, Новой Зеландии, Эстонии и других странах.

В числе учеников Александра Корчагина по классу виолончели – заслуженный артист России А. Загоринский; солист ансамбля «Академия старинной музыки» Н. Кочергин; солист, концертмейстер Королевского симфонического оркестра Швеции Л. Вейсбейн.

В классе струнного квартета у А. Корчагина обучались такие известные музыканты, как скрипачи А. Тростянский, Д. Васильев, С. Малышев, альтисты М. Березницкий, А. Бурчик, виолончелисты В. Бальшин, Д. Фейгин, Б. Лифановский, О. Калинова и др.

Струнный квартет в составе А. Мошкова, А. Шабалина, А. Ярошенко, К. Шмырева, подготовленный А. Корчагиным, стал лауреатом Всесоюзного конкурса квартетов в 1991.

Александр Корчагин входил в жюри конкурса скрипичных мастеров XI Международного конкурса им. П. И. Чайковского (1998), в жюри III Международного конкурса камерных исполнителей в Мельбурне (1999), многих конкурсов в России.

Заслуженный артист РСФСР (1984), народный артист России (1994). В 1987 в составе Квартета имени Д. Д. Шостаковича удостоен Государственной премии РСФСР имени М. И. Глинки.